Pensamiento variacional de estudiantes de grado noveno de educación básica aplicado en el proceso de resolución de situaciones problema que se pueden modelar con una función cuadrática
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Resumen en español
El objetivo de la investigación es comprender la aplicación de PV de estudiantes de grado noveno en la resolución de problemas de variación cuadrática. Para tal efecto planteamos unos indicadores de variación y cambio para cada una de las categorías dominios del cambio, direcciones del cambio y cantidad de cambio. Consideramos que las preguntas qué, cómo y cuanto, implicadas, respectivamente, en cada categoría, constituyen un recurso para el estudio y comprensión de la covariación en cualquier problema de variación. Argumentamos sobre la importancia de trabajar la resolución de problemas de variación y cambio, como un recurso para promover y fomentar el Pensamiento Variacional de los estudiantes, el cual es un pensamiento transversal al pensamiento numérico, métrico, geométrico y aleatorio, constitutivos del pensamiento matemático que se debería desarrollar en la matemática escolar. Reconocemos que, en general, los estudiantes aplican PV en la resolución de problemas de variación, sin embargo, en muchos casos actúan como si se tratara de ejercicios rutinarios, para los cuales, en realidad, no es crucial reconocer y/o determinar la covariación, ni los intervalos de variación y/o monotonía de sus variables. Los estudiantes no reconocen las representaciones semióticas tabulares, cartesianas y algebraicas como modelos para argumentar y/o predecir, al parecer, sólo constituyen medios para la presentación de información, pero no son modelos matemáticos que permitan obtener otras representaciones y/o interpretar la realidad. Reconocemos que si bien los estudiantes tienen capacidad para identificar regularidades y patrones en una representación, sin embargo, no reconocen la variación en una representación tabular y, por tanto, no la aplican para obtener la representación algebraica, sobre todo cuando se trata de un problema de variación cuadrática, y en algunos casos, tampoco es un referente para evaluar su representación gráfica cartesiana. Merece atención especial el hecho que, ningún estudiante plantea la ecuación cuadrática para determinar una preimagen, a pesar de disponer de la expresión algebraica de la función y del valor de la imagen. Empero, en las notas de clase se plantean muchos ejercicios donde aplican la ―fórmula cuadrática‖ para determinar sus raíces que, en términos de covariación, significa encontrar la preimagen de un valor dado. Es posible que esto sea consecuencia de una falta de comprensión de la relación entre ecuación y preimagen y de concebir las funciones como fórmulas en lugar de considerarlas como verdaderas relaciones de covariación. Por otra parte, a pesar de la importancia del concepto de razón de cambio para el análisis de la covariación en cualquier problema de variación, concepto que a nivel de noveno grado se puede trabajar como razones promedio de cambio, ningún estudiante lo aplica en los casos que es requerido para la obtención de un valor numérico, en su lugar, utilizan métodos como la regla de tres, reducción a la unidad, entre otros, que son restringidos para situaciones de variación directa e inversamente proporcional. De modo que, en general, interpretamos que el concepto de razón promedio de cambio no forma parte del PV de los estudiantes. Sin embargo, mostramos el caso de un estudiante quien aplica este concepto (posiblemente sin saberlo) para trazar la gráfica cartesiana sobre el llenado de un recipiente cuya rapidez de llenado es variable. Finalmente, pese a que los lineamientos curriculares señalan que se debe utilizar la resolución de problemas como uno de los procesos para desarrollar los pensamientos matemáticos numérico, métrico, espacial, aleatorio y variacional, interpretamos que, en general, los estudiantes proceden de forma algorítmica.
Resumen en español
The objective of the investigation is to understand the application of the thinking variational of students of ninth grade in the solving of problems of quadratic variation. For such effect we outline some variation indicators and change for each one of the categories domain of the change, address of the change and quantity of change. We consider that the questions what, how and as much as, implied, respectively, in each category, they constitute a resource for the study and understanding of the covariación in any variation problem. We argue about the importance of working the problems solving variation and change, as a resource to promote and to foment the thinking variational of the students, which is a traverse thought to the numeric, metric, geometric and aleatory thought, constituent of the mathematical thought that should be developed in the school mathematics. We recognize that, in general, the students apply PV in the resolution of variation problems, however, in many cases they act as if it was about routine exercises, for those which, in fact, it is not crucial to recognize and/or to determine the covariación, neither the variation intervals and/or monotony of their variables. The students don't recognize the representations semióticas tabulates, cartesian and algebraic as models to argue and/or to predict, apparently, they only constitute means for the presentation of information, but they are not model mathematical that allow to obtain other representations and/or to interpret the reality. We recognize that although the students have capacity to identify regularities and patterns in a representation, however, they don't recognize the variation in a representation tabulate and, therefore, they don't apply it to obtain the algebraic representation, mainly when it is problems solving of quadratic variation, and in some cases, neither it is a referent to evaluate their graphic cartesian representation. It deserves special attention the fact that, no student outlines the quadratic equation to determine a preimagen, in spite of having the algebraic expression of the function and of the value of the image. But, in the class notes they otuline many exercises where they apply the ―quadratic formula‖ to determine their roots that, in covariation terms, it means to find the preimagen of a given value. It is possible that this is consequence of a lack of understanding of the relationship between equation and preimagen and of conceiving the functions like formulas instead of considering them as true covariation relationships. On the other hand, in spite of the importance of the concept of reason of change for the analysis of the covariación in any variation problem, concept that at level of ninth grade one can work like reasons average of change, no student applies it in the cases that it is required for the obtaining of a numeric value, in her place, they use methods like the rule of three, reduction to the unit, among other that are restricted for situations of direct and inversely proportional variation. So, in general, we interpret that the concept of reason average of change is not part of PV of the students. However, we show the case of a student who applies this concept (possibly without knowing it) to trace the graph cartesian on the one filled of a recipient whose speed of having filled is variable. Finally, in spite of the fact that the curricular limits point out that the resolution of problems should be used how one of the processes to develop the mathematical numeric, metric, space, aleatory thoughts and variacional, we interpret that, in general, the students come in an algorithmic way
