Introducción a las funciones de variable compleja

Oostra, Arnold; Olivar Robayo, Luis Eduardo

Publicación:
Introducción a las funciones de variable compleja

dc.contributor.author	Oostra, Arnold
dc.contributor.author	Olivar Robayo, Luis Eduardo
dc.contributor.datamanager	Grupo de Matemáticas del Tolima (Grupo-MaT)
dc.date.accessioned	2023-04-10T17:08:45Z
dc.date.available	2023-04-10T17:08:45Z
dc.date.issued	2023
dc.description	Además de su enorme belleza intrínseca, el análisis complejo es una de las teorías de mayor trascendencia tanto en las matemáticas puras como aplicadas. El matemático francés Paul Painlevé escribió: “Entre dos verdades del dominio real, el camino más fácil y corto muy a menudo pasa por el dominio complejo”. Por ello, en la formación de matemáticos y de docentes en matemáticas resulta imprescindible un curso básico sobre las funciones de variable compleja, que se conoce de manera simple como Variable Compleja. En la Universidad del Tolima desde hace muchos años se ha forjado una tradición de enfocar este curso en la comprensión geométrica del sistema de los números complejos, antes de pasar al desarrollo del cálculo básico con funciones en este contexto. Este libro “Introducción a las funciones de variable compleja” recoge la experiencia adquirida por sus autores al orientar esa asignatura en muchas ocasiones, tanto en el programa de Matemáticas con énfasis en Estadística como en la Licenciatura de Matemáticas de la Universidad del Tolima. Su propósito es servir como guía para los estudiantes de ese curso y para cualquier persona interesada en acercarse a esta fascinante rama de la matemática. Para su adecuada comprensión se requieren conocimientos básicos de matemáticas a nivel de cálculo real en una y varias variables. El texto consta de cinco capítulos, cada uno de los cuales está dividido en secciones cortas correspondientes al tema que se puede desarrollar en una clase, al final del capítulo hay una breve selección de ejercicios. El capítulo 1 es una introducción a los números complejos, con énfasis especial en la geometría de este sistema. Además de introducir la notación y las presentaciones usuales de los números complejos, allí se estudian las secciones cónicas en términos de números complejos y se presenta la esfera de Riemann. El capítulo 2 es una revisión de las nociones básicas de topología y análisis especializados al plano complejo, que incluyen la métrica, los conjuntos abiertos y cerrados, los conjuntos compactos y conexos, la convergencia de sucesiones y series. En el capítulo 3 se realiza una presentación detallada de las principales funciones de variable compleja enfatizando, de nuevo, su comportamiento geométrico. Además de la función lineal y cuadrática se estudian las funciones racionales, en especial las transformaciones de Möbius, y las trascendentes, que incluyen la función exponencial, las trigonométricas y el logaritmo complejo. Los capítulos 4 y 5 contienen una introducción básica al cálculo diferencial e integral de funciones de una variable compleja. En el capítulo 4 se presenta la definición de derivada y se estudian sus consecuencias, contenidas en las célebres condiciones de Cauchy-Riemann. Por fin, en el capítulo 5 se define la integral de funciones de variable compleja como una integral de línea, se estudian sus principales propiedades y se construye una demostración del teorema integral de Cauchy y de su consecuencia principal, la fórmula integral. El texto tiene una amplia bibliografía que puede servir de guía para cualquier lector que desee continuar en el maravilloso camino del análisis complejo.
dc.description.abstract	El libro “Introducción a las funciones de variable compleja” es una invitación al estudio del análisis complejo, que en sus raíces más básicas corresponde al cálculo diferencial e integral de funciones de una sola variable compleja. Más allá de su división en capítulos y secciones, este texto aborda en orden tres grandes temas. En el primer momento, que abarca los capítulos 1 y 2, se estudia de manera amplia y detallada el sistema de los números complejos. Partiendo de la definición elemental de los números complejos y sus propiedades algebraicas básicas, luego se pasa por diferentes representaciones geométricas y se desemboca en la métrica, la topología y las nociones de convergencia en el plano complejo. El segundo tema importante, que corresponde al capítulo 3, comprende las funciones de variable compleja. En esta parte se procura explicar el comportamiento de las funciones básicas que se utilizan en el análisis complejo, no solo las polinómicas y racionales sino también algunas funciones trascendentes, y se detalla su relación con las funciones reales correspondientes. En cada caso, se elabora una aproximación a la conducta geométrica de la función. La tercera parte del texto, que incluye los capítulos 4 y 5, es de manera esencial la introducción al cálculo con funciones de variable compleja. Como es tradición en matemáticas, este cálculo se desarrolla en tres pasos que son los límites, las derivadas y las integrales. El énfasis se centra, por supuesto, en aquellas particularidades en las cuales el análisis complejo difiere del real. Entre ellas se pueden mencionar las condiciones de Cauchy-Riemann para la diferenciabilidad, las funciones complejas holomorfas y las funciones reales armónicas, el teorema integral de Cauchy con sus diversas consecuencias, la fórmula integral de Cauchy, la existencia de todas las derivadas de una función holomorfa, y la fórmula integral general de Cauchy.
dc.description.edition	1ª. Ed.
dc.format.extent	148 p.
dc.format.mimetype	application/pdf
dc.identifier.eisbn	978-628-7537-53-8
dc.identifier.isbn	978-628-7537-53-8
dc.identifier.uri	https://repository.ut.edu.co/handle/001/3656
dc.publisher	Sello Editorial Universidad del Tolima
dc.publisher.place	Ibagué – Tolima - Colombia
dc.rights	Todos los derechos reservados. Queda prohibida la reproducción total o parcial de este libro por cualquier medio, sin autorización expresa del titular del derecho de autor.
dc.rights.accessrights	info:eu-repo/semantics/openAccess
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dc.rights.license	Atribución-NoComercial 4.0 Internacional (CC BY-NC 4.0)
dc.rights.uri	https://creativecommons.org/licenses/by-nc/4.0/
dc.subject.ddc	510 - Matemáticas
dc.subject.lem	Cálculo diferencial
dc.subject.lem	Geometría
dc.subject.proposal	Los números complejos
dc.subject.proposal	Nociones métricas y topológias
dc.subject.proposal	Funciones de variable compleja
dc.subject.proposal	Funciones holomorfas
dc.subject.proposal	Integración compleja
dc.title	Introducción a las funciones de variable compleja
dc.type	Libro
dc.type.coar	http://purl.org/coar/resource_type/c_2f33
dc.type.coarversion	http://purl.org/coar/version/c_970fb48d4fbd8a85
dc.type.content	Text
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dc.type.redcol	http://purl.org/redcol/resource_type/LIB
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dspace.entity.type	Publication